Иван Егорович Гаврыш родился 3 (по новому стилю – 16) января 1918 года в селе Лелюховка (ныне – Новосанжарский район Полтавской области Украины) в крестьянской семье. По национальности украинец. После окончания семи классов школы проживал в городе Орехово-Зуево Московской области, работал на заводе «Карболит».

В 1938 году Гаврыш был призван на службу в Рабоче-Крестьянскую Красную Армию Орехово-Зуевским районным военным комиссариатом Московской области. В 1939 году он окончил Энгельсское военное авиационное училище лётчиков. Участвовал в боях советско-финской войны.

С первых дней Великой Отечественной войны – на её фронтах. Воевал командиром авиационного звена бомбардировочного полка. Участвовал в боях на Украине в 1941 году, бомбил немецкие переправы через Днепр в районе Берислав-Каховка. 15 июля 1941 года во время выполнения очередного боевого вылета Гаврыш принял бой с группой вражеских самолётов и сбил один из них. 28 августа 1941 года его машина была подбита в районе Днепропетровска, но лётчик сумел довести её до занятой советскими войсками территории. В дальнейшем Гаврыш участвовал в боях на Дону и в Крыму. Летал в сложнейших погодных условиях как днём, так и ночью, десятки раз его самолёт подвергался зенитному обстрелу, но лётчик всегда успешно выполнял поставленные боевые задачи. В декабре 1941 года он был представлен к ордену Красного Знамени, но так и не был награждён.

24 апреля 1942 года командир 21-го дальнебомбардировочного авиационного полка майор Меньшиков представил Гаврыша к званию Героя Советского Союза. К тому времени он совершил 90 успешных боевых вылетов на занятую врагом территорию, 77 из которых – в тёмное время суток. Гаврыш сбросил на скопления боевой техники и живой силы противника, его важные объекты более 82 тонн бомб разного калибра.

В дальнейшем Гаврыш бомбил крупные города, занятые противником: Таллин, Ржев, Моравску-Остраву, Бреслау, Варшаву, Прагу, Секешфехервар, Балатон, Плоешти, Яссы, Кёнигсберг. Кроме того, он летал в Югославию, сбрасывая партизанам Народно-освободительной армии оружие, боеприпасы и медикаменты. С августа 1943 года Гаврыш командовал эскадрильей 238-го гвардейского бомбардировочного авиационного полка. Летал на бомбардировщике «B-25», поставленном в СССР по лендлизу. Интенсивность боевых вылетов была такая, что командование было вынуждено отправить лётчика на излечение, когда у того было диагностировано сильное переутомление. В общей сложности за время Великой Отечественной войны Гаврыш совершил 202 боевых вылета.

В 1946 году Гаврыш в звании гвардии майора был уволен в запас. Проживал в Москве, работал в Министерстве автомобильного транспорта РСФСР. Умер 1 февраля 2002 года, похоронен на Троекуровском кладбище Москвы.