Борис Карпович Галицкий родился 18 (по новому стилю – 31) июля 1914 года в городе Таганроге. По национальности русский. Окончил пять классов школы и школу фабрично-заводского ученичества, после чего работал токарем на Таганрогском инструментальном заводе.

В 1934 году Галицкий окончил Батайскую лётную школу Гражданского воздушного флота (ГВФ), после чего уехал в Ленинград, где работал лётчиком-инструктором в Ленинградском институте инженеров ГВФ. С 1938 года работал пилотов гражданской авиации в Свердловске и Новосибирске.

В феврале 1941 года Галицкий был призван на службу в Рабоче-Крестьянскую Красную Армию. Служил лётчиком в бомбардировочном авиационном полку, дислоцировавшемся на Дальнем Востоке. В 1942 году Галицкий вновь был направлен на лётно-испытательскую работу, в течение пяти лет был лётчиком-испытателем на авиационном заводе № 126 в городе Комсомольске-на-Амуре. С 1947 года и до самого конца своей жизни служил лётчиком-испытателем авиационного завода № 23 в Москве. В 1950 году окончил курсы при Школе лётчиков-испытателей.

Проводил испытания опытного бомбардировщика «Ил-4», первого серийного транспортного самолёта «Ли-2Т», реактивного дальнего бомбардировщика «ДМ», поршневых бомбардировщиков «Ту-2» и «Ту-4», реактивных бомбардировщиков «М-4» и «3М», вертолётов «Ми-6», а также ряда их модификаций. Особых успехов он добился на испытаниях вертолёта «Ми-6», в 1962 и 1964 годах установив пять мировых авиационных рекордов скорости.

Скончался 26 сентября 1965 года, похоронен на Новодевичьем кладбище Москвы (участок № 6).