Был представителем старинного дворянского рода, восходящего к середине XVI века. Был вторым из восьми сыновей отставного генерал-майора Устина Ивановича Арапова (1797 – ?), в 1836–1846 годах – тамбовского губернского предводителя дворянства, и его супруги Марии Ивановны, урождённой Сазоновой.

Получил домашнее образование, после чего поступил юнкером в один из драгунских полков. В 1844 году был произведён в офицеры. В 1860 году в чине полковника был пожалован во флигель-адъютанты к Е. И. В. В 1865 году получил чин генерал-майора и был зачислен в Свиту Е. И. В. В 1866–1876 годах занимал пост московского обер-полицмейстера. В 1876 году был произведён в генерал-лейтенанты с зачислением, ввиду расстроенного здоровья, в запасные войска. Был крупным помещиком Тамбовской, Пензенской, Воронежской, Московской, Казанской губерний.

Арапов был женат дважды. От брака с Ольгой Андреевной Пятницкой (1839–1860) имел сына Александра (1860–1904), от брака с Верой Александровной Казаковой – дочерей Анастасию (1871–1939), будущую супругу Г. К. Маннергейма, впоследствии ставшего маршалом и президентом Финляндии, и Софию (1873 – ?), в замужестве – Менгден.