Из дворянского рода молдавского происхождения. Сын Михаила Аггеевича Абазы и Александры Алексеевны Золотарёвой, племянник будущего министра финансов России Александра Аггеевича Абазы. Жена — Наталия Фёдоровна Василькова. В браке родилось 8 детей (5 мальчиков и 3 девочки), старший появился на свет в 1887 году, младший — в 1903.

По окончании Московского кадетского корпуса А. служил на флоте, был адъютантом генерал-адмирала великого князя Алексея Александровича. Затем командовал крейсером «Светлана», отрядом Морского кадетского корпуса. С ноября 1902 по январь 1903 года состоял в должности помощника главноуправляющего торговым мореплаванием и портами, а с января 1903 по октябрь 1905 года – в должности товарища главноуправляющего. В 1903 году был произведён в контр-адмиралы с зачислением в Свиту Е. И. В.

В 1903 – начале 1905 года А. имел значительное влияние на дальневосточную политику Российской империи. В сентябре 1903 года он был назначен управляющим делами новообразованного Особого комитета по делам Дальнего Востока, ввиду чего А. получил право личного доклада императору Николаю II. В вопросах дальневосточной политики и дипломатических переговоров с Японией А. и его кузен А. М. Безобразов фактически оттеснили министерство иностранных дел. Так называемая «безобразовская клика» вела агрессивную политику в отношении Японии, что стало одним из факторов начала Русско-японской войны. В июне 1905 года Особый комитет по делам Дальнего Востока был упразднён, и Абаза утратил своё политическое влияние.

Окончательно со службы А. был уволен в январе 1910 года с производством в вице-адмиралы. После отставки он долго болел, перенёс тяжёлую операцию.