Аслан Абашидзе родился 20 июля 1938 года в Батуми. Он принадлежит к старинному княжескому роду, который правил в Аджарии с XVI века. В 1962 году Абашидзе окончил историко-филологический факультет Батумского педагогического института. В том же году он был условно осуждён на два года за хранение огнестрельного оружия и злостное хулиганство. Позднее Абашидзе преподавал в Батумском музыкальном училище, работал директором ПТУ и по линии Комсомола. В 1981 году его назначили заместителем председателя исполкома Батумского горсовета. В 1984 году Абашидзе получил второе высшее образование, окончив факультет планирования народного хозяйства Тбилисского госуниверситета, и тогда же был назначен на пост министра бытового обслуживания населения Аджарской АССР. В 1986 году он был переведён на должность заместителя министра бытового обслуживания населения Грузинской ССР, позднее был президентом государственного концерна «Грузбытсервис».

В марте 1991 года, заручившись поддержкой президента Грузии Звиада Гамсахурдиа, Абашидзе занял пост председателя верховного совета Аджарии. В июле того же года его избрали председателем аджарского парламента. В 1992 году Абашидзе создал и возглавил политическую партию «Всегрузинский союз Возрождения», в октябре 1996 года – был вновь избран председателем верховного совета Аджарии. В апреле 2000 года аджарский лидер выступал в качестве одного из кандидатов на выборах президента Грузии, однако за день до голосования он снял свою кандидатуру. 4 ноября 2001 года он выиграл выборы главы Аджарии – кандидатуру Абашидзе поддержали 99% избирателей.

В период, когда главой Аджарии был Абашидзе, регион абсолютно не контролировался центральными властями: Аджария не перечисляла деньги в бюджет государства, фактически имела собственную государственную границу, подобие государственных структур и вооружённых сил, а также проводила самостоятельную внешнюю политику, в частности, установила хорошие отношения с властями России.

После «революции роз» в конце 2003 года Абашидзе не сумел найти общего языка с новым грузинским лидером Михаилом Саакашвили. Во время выступления на первой сессии нового парламента в апреле 2004 года последний назвал клан Абашидзе «бандой преступников, убийц и наркодилеров». В мае 2004 года президент ввёл в Аджарии прямое президентское правление. В регион был переброшен грузинский спецназ, в Батуми начались беспорядки. 6 мая Абашидзе уехал в Россию.

В декабре 2005 года генеральная прокуратура Грузии возбудила против бывшего главы Аджарии уголовное дело по обвинению в терроризме, превышении служебных полномочий, мошенничестве и незаконном хранении оружия и боеприпасов, а в марте следующего года – ещё и по обвинению в преднамеренном убийстве в 1991 году заместителя председателя парламента Аджарии Нодара Имнадзе.